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來源：中國教育報 2023-02-10 作者：余明芳
構(gòu)建完整知識體系、增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識是備考復(fù)習(xí)的重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)解題策略的實施要求。每一道數(shù)學(xué)問題的解答，都必須聯(lián)系已學(xué)知識、已解問題與已有的方法經(jīng)驗，需要解答者熟稔掌握數(shù)學(xué)知識與問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，根據(jù)知識與問題間的聯(lián)系，將待解問題化簡、轉(zhuǎn)化為已解問題或可應(yīng)用已學(xué)知識的問題。所以，深度的數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)，要總結(jié)應(yīng)試必備的思維策略方法，更要著力研究知識與問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，著重凝練化簡與轉(zhuǎn)化思想。因此，在復(fù)習(xí)備考時必須具有以下三個目標(biāo)意識。
知識系統(tǒng)化——
立足基礎(chǔ)突出主干，構(gòu)建完整知識體系
歷年高考數(shù)學(xué)對解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量與幾何、概率與統(tǒng)計等核心模塊的考查，中考數(shù)學(xué)對平面幾何基本圖形關(guān)系與二次函數(shù)問題等主要知識的考查，都是深入、系統(tǒng)的。因此，復(fù)習(xí)中要重視主干知識的地位與作用，經(jīng)常圍繞主干進(jìn)行知識與問題的關(guān)系建構(gòu)，將主體知識的系統(tǒng)化作為備考關(guān)鍵內(nèi)容。數(shù)學(xué)的具體概念、法則、定理、公式、方法、問題都是相互關(guān)聯(lián)的，深度的復(fù)習(xí)要掌握知識生成與論證的縱向關(guān)系，也要理解不同章節(jié)甚至不同學(xué)科知識間的橫向關(guān)聯(lián)，還要熟練掌握由數(shù)學(xué)知識鏈密集交匯而形成的與眾多知識問題有直接關(guān)聯(lián)的“簇知識”。日常學(xué)習(xí)要認(rèn)真研究知識與問題的關(guān)系，復(fù)習(xí)時不僅要進(jìn)一步明確并掌握知識與問題的關(guān)系，還要注重研究知識與問題的整體結(jié)構(gòu)，以形成對知識與問題的“結(jié)構(gòu)性理解”，進(jìn)而實現(xiàn)知識系統(tǒng)化這一具有扎根筑基性質(zhì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。
知識系統(tǒng)化是分析與解決數(shù)學(xué)問題的思維基礎(chǔ)。著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在其《怎樣解題》一書中指出，解題在“擬定計劃”環(huán)節(jié)，可考慮：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？這些思考告訴我們，解題時應(yīng)通過聯(lián)想，把問題置于與之相關(guān)聯(lián)的知識與問題系統(tǒng)中，從問題與已學(xué)知識、已解問題的聯(lián)系入手綜合思考，可稱之為解題思維的“系統(tǒng)原則”。這個原則揭示了解題思維的基本規(guī)則，適用于所有數(shù)學(xué)問題的解答，也適用于所有非數(shù)學(xué)問題的解答。成功的解題需要有一個知識與問題的系統(tǒng)關(guān)系網(wǎng)，網(wǎng)中的知識與問題越有序、精細(xì)無漏洞，越有利于迅捷聯(lián)想與順利轉(zhuǎn)化，關(guān)系網(wǎng)越大，轉(zhuǎn)化的路徑與方法也越多。
方法思想化——
運(yùn)算推理兩翼并重，增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識
運(yùn)算與推理是解證數(shù)學(xué)問題時實現(xiàn)化簡、化歸的主要手段，也是解答數(shù)學(xué)高考試題的關(guān)鍵能力，二者在解題過程中經(jīng)常共同合作、相互推進(jìn)，在備考復(fù)習(xí)中應(yīng)充分重視。具體的運(yùn)算與推理方法很多，深度的備考復(fù)習(xí)要注重理解蘊(yùn)含在每一個方法中的求變意識與化歸思想，以使眾多方法在被歸結(jié)成同一思想后更易于認(rèn)識與理解，并能用單一的思路簡易處理各類繁雜問題。深度的復(fù)習(xí)，要增強(qiáng)將問題轉(zhuǎn)化為已解問題與已知知識的意識，也要在使用各種方法時多感悟方法的化簡與化歸功能，要回顧思維路徑，看清轉(zhuǎn)化化歸的過程，還要從中總結(jié)方法經(jīng)驗和一般化的解題策略原則。日常解題中要著力研究解題的基本方法，而復(fù)習(xí)時不僅要進(jìn)一步熟練運(yùn)用已知方法，還要注重通過一題多解、多題歸一、多法歸一等方式掌握問題間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，并從中凝練出歸結(jié)眾多方法處理大量問題的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而達(dá)成方法思想化這一具有高位統(tǒng)攝性質(zhì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。
概括運(yùn)算與推理方法的轉(zhuǎn)化化歸思想，是分析與解決數(shù)學(xué)問題的思維利器。波利亞指出，解題在擬定計劃時，要思考：你能不能用不同的方法重新敘述它？如果你不能解決所提出的問題，可否先解決一個與此有關(guān)的問題？你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題，一個更普遍的問題，一個更特殊的問題，一個類比的問題？這些思考告訴我們，解題時應(yīng)借助聯(lián)想中得到的知識與問題的關(guān)系進(jìn)行命題變更，化抽象為直觀、化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉等，可稱之為解題思維的“多變原則”。這個原則揭示了解題思維的另一個基本規(guī)則，也適用于所有問題的解答，解題中的因果、數(shù)形、整零、和積與動靜等轉(zhuǎn)換，配方、消元、換元、反證等方法，都是轉(zhuǎn)化化歸思想和這個原則的特殊體現(xiàn)。成功的解題需要能指導(dǎo)思維方向的數(shù)學(xué)思想，思想越有概括性，越可將眾多的知識與問題歸結(jié)到簡單范疇進(jìn)行統(tǒng)一認(rèn)識與思考，也越易于將其融會貫通地應(yīng)用在更多類別的解題過程中。
思維策略化——
通法為主特技為輔，力促解證周密有序
思維策略是影響考試解題成敗的一個關(guān)鍵因素，需要在備考復(fù)習(xí)中予以充分關(guān)注。一般來說，“會而不對”是導(dǎo)致考試不理想的主要原因，考試解題時應(yīng)將試卷問題分為難、中、易三類，對困難問題采用回避、暫不思考或盡力尋找可得分點等策略，對中、易題采用通法為主特技為輔、以確保萬無一失的策略。在數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理中，為規(guī)避常規(guī)錯誤的發(fā)生，多運(yùn)用熟悉的通用的方法，不用或少用不熟悉的特殊技巧，是解題思考時要遵循的“正合原則”?！罢显瓌t”對數(shù)學(xué)中、高考試題解答的重要啟示是：解題時不可不著邊際無目標(biāo)地思考，而應(yīng)從條件與結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已學(xué)知識與已有經(jīng)驗，先聯(lián)想解決同類問題的常規(guī)思路，在找不到常規(guī)思路或所找思路難以實施時，再尋求特殊的可出奇制勝的方法。數(shù)學(xué)高考中的大部分試題都可以用通法解答，對少部分難題可采用適當(dāng)回避策略，這與日常練習(xí)中“樂解難題”的思路正好相反，但并不矛盾。
數(shù)學(xué)難題解答中“會而不對”的現(xiàn)象很常見，因而是備考復(fù)習(xí)和考場發(fā)揮時最需要關(guān)注的問題。要克服輕慢與疏忽的心理弱點，力促解證周密有序，做到周而不疏、密而不漏，這是解題思考時應(yīng)遵行的“縝密原則”?！对鯓咏忸}》在“弄清問題”“擬定計劃”“實行計劃”“回顧反思”環(huán)節(jié)，也給出了許多建議，如：希望解題者能注意分辨清楚未知數(shù)、已知數(shù)據(jù)、條件各是什么，整體關(guān)注包含在問題中的所有概念，看是否已利用了所有已知數(shù)據(jù)和條件，并懂得檢驗每一個步驟，直到能清楚看出并能證明其是正確的，等等。因此，考生備考復(fù)習(xí)要努力強(qiáng)化縝密的思維習(xí)慣，在考試中能有意識地在易錯環(huán)節(jié)放慢速度，有條不紊、步步有據(jù)地進(jìn)行運(yùn)算與推理，能在解答后懂得檢驗一些可疑的運(yùn)算與推理步驟，盡力減少日?？荚囍谐Ｒ姷摹皶粚Α爆F(xiàn)象。
總之，以上三個目標(biāo)意識，都是數(shù)學(xué)解題策略的實施要求?！跋到y(tǒng)原則”倡導(dǎo)的是以聯(lián)系的觀點審視問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有知識系統(tǒng)化的目標(biāo)意識?！岸嘧冊瓌t”倡導(dǎo)的是以運(yùn)動變化的觀點處理問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有方法思想化的目標(biāo)意識。而“正合原則”“縝密原則”指出的則是考試答題的時間與精力分配策略問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有思維策略化的目標(biāo)意識。同時，由于數(shù)學(xué)高考試題中的偏、難、怪題始終是極少數(shù)的，備考復(fù)習(xí)也應(yīng)針對這一特點，制定好學(xué)習(xí)時間分配策略，集中加強(qiáng)主干知識與基本思想方法的學(xué)習(xí)，并針對日常的薄弱環(huán)節(jié)與常犯錯誤，對高考中難題型進(jìn)行深入研究。
（作者系福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部副教授）